Формула Стокса icon

Формула Стокса

Реклама:



Скачать 28.12 Kb.
НазваниеФормула Стокса
Дата05.06.2013
Размер28.12 Kb.
ТипЛекция
источник

Лекция 8.

Формула Стокса

Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:

Определение. Назовем ротором величину:

(Существует и другое обозначение ротора: . По существу, ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор в данной точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.




Γ+

S




Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий.

Формула Стокса имеет вид:






Связь ориентации нормали с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали . Другой способ: если смотреть из конца вектора , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде:



Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода.

Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.

Представим поле в виде суммы: ; ; ; . Доказательство проведем для каждого из полей , и по отдельности.

Ротор поля : . Будем считать, что поверхность ^ S задается системой уравнений: Обход контура ∂D+ осуществляется против часовой стрелки – область D остается слева от контура.


Правая часть формулы:

Левая часть - , в пространстве переменных u,v будет иметь вид: . Отсюда по формуле Грина

Вычислим производные по u и v. Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей и .

Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты



Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.

При каких условиях справедливо ?

Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:

1.

2.

3. (отличие случая пространства от плоскости)

4. Существует такая функция , что . Функцию называют потенциалом данного поля.

В этом случае - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-Лейбница).

Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл не зависит от траектории.

Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).

Вычислить (интеграл берется по окружности). Попробуем применить формулу Грина: . Вычислим произведение ротора поля на вектор нормали: . Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:

Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть непрерывны. Но и . Чтобы интегрировать, нужно удалить из рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).

Добавить документ в свой блог или на сайт


Реклама:

Похожие:

Формула Стокса iconТест по теме «Электронные таблицы»
В ячейку С3 электронной таблицы записана формула =$А$1+ Какой вид будет иметь формула, если ячейку С3 скопировать в ячейку В3?

Формула Стокса iconТабличный процессор Excel Для вычисления суммы значений диапазона ячее от А3 до А15 электронной таблицы используется формула
В ячейке F3 электронной таблицы записано формулу =max(A3: E3). Какой вид имеет формула после копирования в ячейку J8?

Формула Стокса iconМеждународная математическая олимпиада «Формула Единства» Информационное сообщение
Санкт-Петербургский государственный университет, Международный благотворительный фонд поддержки математики им. Л. Эйлера и Школа...

Формула Стокса iconЗакон Стокса : f = 6phr dh/dt Зависимость между скоростью оседания частицы и ее радиусом

Формула Стокса iconЛабораторная работа №6 определение температурной зависимости коэффициента вязкости жидкости
Целью работы является измерение коэффициента вязкос-ти жидкости методом Стокса и получение эмпирической за-висимости вязкости от...

Формула Стокса iconСтатья на тему «Методическая служба формула успеха»
Опыт работы отдела программирования и моделирования дополнительного образования и систем воспитания

Формула Стокса iconПрезентация по изучаемой теме; опорный конспект; карточки с заданиями
Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи

Формула Стокса iconВещество – объект химии (§ 3)
Цель урока. Сформировать понятия «вещество» и «химическая формула», научить читать химические формулы

Формула Стокса iconОтвет Способы решения задач: с использованием средств алгебры логики
Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи

Формула Стокса iconС. Ф. Морочковская Однажды Жуковский сказал: Жизнь и поэзия одно. Эта формула несет особое содержание. Поэзия в представлении Жуковского сестра истинной, небесной, а не земной жизни
Однажды Жуковский сказал: Жизнь и поэзия – одно. Эта формула несет особое содержание. Поэзия в представлении Жуковского сестра истинной,...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©soobsh.ru 2000-2013
При копировании материала укажите ссылку.
обратиться к администрации
Документы